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【院試問題】基礎数学_大問[1](2020東北大学理・物理)

解いてみた。

過去問はこちらより入手可。

 

過去問のリンク↓

 

問題のテーマ

(1)ではテイラー展開を利用して、曲面の接平面の方程式を求める。 (2)では基底変換とヤコビアンによる変数変換を結びつけて、曲面が囲む体積を三重積分で求める。

キーワード

 

目次

 

(1) 三次元空間における曲面の接平面の方程式

(a) テイラー展開の具体的な計算

\(f(x,y) = \sqrt{xy}\)を\(x\),\(y\)で偏微分するとそれぞれ \begin{equation*} f_x(x,y) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}\,,\quad f_y(x,y) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}} \end{equation*} よって\(f(x,y)\)を\((x,y)=(8,2)\)のまわりで一次までテイラー展開すると \begin{eqnarray*} f(x,y) &\cong& f(8,2) + (x-8)\cdot f_x(8,2) + (y-2)\cdot f_y(8,2)\\ &=& 4 + (x-8)\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{8}} + (y-2)\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\frac{8}{2}}\\ &=& 4 + (x-8)\cdot\frac{1}{4} + (y-2)\cdot1\\ &=& 4 + \frac{x}{4} - 2 + y - 2\\ &=& \boxed{\frac{x}{4} + y} \end{eqnarray*}

(b) 接平面の方程式

\(z=\sqrt{xy}\)の\((x,y)=(8,2)\)における接平面の方程式は \begin{eqnarray*} z - f(8,2) &=& (x-8)\cdot f_x(8,2) + (y-2)\cdot f_y(8,2)\\ z - 4 &=& (x-8)\cdot\frac{1}{4} + (y-2)\cdot1\\ z - 4 &=& \frac{x}{4} + y \end{eqnarray*} より \begin{equation*} \boxed{\frac{x}{4} + y - z = 0} \end{equation*} この方程式から接平面は\((0,1,1),(4,0,1)\)を通るので、法線ベクトルのひとつは \begin{equation*} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ -4 \end{array} \right) \end{equation*} よって単位法線ベクトル\(\vec{n}\)は \begin{equation*} \vec{n} = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 4^2 + (-4)^2}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ -4 \end{array} \right) = \boxed{\frac{1}{\sqrt{33}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ -4 \end{array} \right)} \end{equation*}

(2) 曲面に囲まれる部分の体積

(a) 正方行列の固有値固有ベクトル

\(A\)の固有値を\(\lambda\),固有ベクトルを\(\vec{p}\)とすると \begin{equation*} (A-\lambda E)\vec{p} = \vec{0} \end{equation*} 固有値方程式を解く。 \begin{eqnarray*} |A-\lambda E| &=& 0\\ \left| \begin{array}{ccc} 3-\lambda & 0 & 1\\ 0 & 3-\lambda & 1\\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{array} \right| &=& 0\\ (3-\lambda)^2(2-\lambda) - (3-\lambda) - (3-\lambda) &=& 0\\ (3-\lambda){(3-\lambda)(2-\lambda) - 2} &=& 0\\ (3-\lambda)(\lambda^2 - 5\lambda + 4) &=& 0\\ (3 - \lambda)(\lambda - 4)(\lambda - 1) &=& 0 \end{eqnarray*} \(|\lambda_1|<|\lambda_2|<|\lambda_3|\)より \begin{equation*} \boxed{\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 4} \end{equation*} よって \begin{eqnarray*} (A-\lambda_1E)\vec{p_1} = \vec{0}\\ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)\vec{p_1} = \vec{0} \end{eqnarray*} であるから \begin{equation*} \vec{p_1} = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2}}\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ -2 \end{array} \right) = \frac{1}{\sqrt{6}}\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ -2 \end{array} \right) \end{equation*} となる。同様にして \begin{eqnarray*} (A-\lambda_2E)\vec{p_2} = \vec{0}\\ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right)\vec{p_2} = \vec{0} \end{eqnarray*} より \begin{equation*} \vec{p_2} = \frac{1}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}\left( \begin{array}{c} 1\\ -1\\ 0 \end{array} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{c} 1\\ -1\\ 0 \end{array} \right) \end{equation*} さらに \begin{eqnarray*} (A-\lambda_3E)\vec{p_3} = \vec{0}\\ \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -2 \end{array} \right)\vec{p_3} = \vec{0} \end{eqnarray*} より \begin{equation*} \vec{p_3} = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right) \end{equation*} 以上をまとめて \begin{equation*} \boxed{\vec{p_1} = \frac{1}{\sqrt{6}}\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ -2 \end{array} \right),\quad \vec{p_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{c} 1\\ -1\\ 0 \end{array} \right),\quad \vec{p_3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right)} \end{equation*}

(b) 固有ベクトルの規格直交性

\begin{equation*} P = \frac{1}{\sqrt{6}}\left( \begin{array}{ccc} 1 & \sqrt{3} & \sqrt{2} \\ 1 & -\sqrt{3} & \sqrt{2} \\ -2 & 0 & \sqrt{2} \end{array} \right) \end{equation*} であるから \begin{equation*} P^\mathrm{T} = \frac{1}{\sqrt{6}}\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -2 \\ \sqrt{3} & -\sqrt{3} & 0 \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{array} \right) \end{equation*} よって \begin{eqnarray*} P^\mathrm{T}P &=& \frac{1}{\sqrt{6}}\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -2 \\ \sqrt{3} & -\sqrt{3} & 0 \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{array} \right)\frac{1}{\sqrt{6}}\left( \begin{array}{ccc} 1 & \sqrt{3} & \sqrt{2} \\ 1 & -\sqrt{3} & \sqrt{2} \\ -2 & 0 & \sqrt{2} \end{array} \right) \\ &=& \frac{1}{6}\left( \begin{array}{ccc} 1+1+4 & \sqrt{3}-\sqrt{3} & \sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2} \\ \sqrt{3}-\sqrt{3} & 3+3 & \sqrt{6}-\sqrt{6} \\ \sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2} & \sqrt{6}-\sqrt{6} & 2+2+2 \end{array} \right) \\ &=& \frac{1}{6}\left( \begin{array}{ccc} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{array} \right) \\ &=& \boxed{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)} \end{eqnarray*}

(c) 三重積分の変数変換(ヤコビアン

\(3x^2+3y^2+2z^2+2yz+2zx=1\)を \begin{equation*} \left( \begin{array}{ccc} x & y & z \end{array} \right) A \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = 1 \end{equation*} と書き直せることと、(2)(b)の結果から \begin{equation*} \left( \begin{array}{ccc} x & y & z \end{array} \right) PP^\mathrm{T}APP^\mathrm{T} \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = 1 \end{equation*} ここで\(P^\mathrm{T}AP\)は対角行列であり、(2)(a)の結果を用いることで \begin{equation*} P^\mathrm{T}AP = \left( \begin{array}{ccc} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right) \end{equation*} よって変数変換 \begin{equation*} \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \longmapsto P^\mathrm{T}\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \equiv \left( \begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array} \right) \end{equation*} を行うことで与式は \begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{ccc} u & v & w \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array} \right) = 1 \\ u^2 + 3v^2 + 4w^2 = 1 \end{eqnarray*} となる。\(xyz\)空間で与えられた式が示す曲面が囲む領域を\(K\)、 \(uvw\)空間において上の式が示す曲面が囲む領域を\(L\)とおいておく。 さらに変数変換 \begin{equation*} \left( \begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array} \right) \longmapsto \left( \begin{array}{c} u \\ \sqrt{3}v \\ 2w \end{array} \right) \equiv \left( \begin{array}{c} p \\ q \\ r \end{array} \right) \end{equation*} を行うと与式は \begin{equation*} p^2 + q^2 + r^2 = 1 \end{equation*} となり、\(pqr\)空間における半径1の球となる。 この球が占める領域を\(M\)とおいておく。 以上により求める体積\(V\)は \begin{equation*} V = \iiint_K dxdydz = \iiint_L |J_{KL}|dudvdw = \iiint_M |J_{KL}||J_{LM}|dpdqdr \end{equation*} ただし\(J_{KL},J_{LM}\)はそれぞれの変数変換におけるヤコビアンである。 \begin{equation*} \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = P\left( \begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array} \right) = \frac{1}{\sqrt{6}}\left( \begin{array}{ccc} 1 & \sqrt{3} & \sqrt{2} \\ 1 & -\sqrt{3} & \sqrt{2} \\ -2 & 0 & \sqrt{2} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array} \right) \end{equation*} であるから

\begin{eqnarray*} J_{KL} &=& \left|\begin{array}{ccc} x_u & x_v & x_w \\ y_u & y_v & y_w \\ z_u & z_v & z_w \end{array} \right| \\ &=& \left|\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right| \\ &=& - \frac{1}{\sqrt{6}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{2}{\sqrt{6}} + 0 - \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{2}{\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{6}}\frac{1}{\sqrt{3}} - 0 \\ &=& -\frac{1}{6} -\frac{1}{3} -\frac{1}{3} -\frac{1}{6} \\ &=& -1 \end{eqnarray*} ただし、例えば\(x_u\)は\(x\)を\(u\)で偏微分したものである。

また \begin{equation*} \left( \begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} p \\ q \\ r \end{array} \right) \end{equation*} より \begin{eqnarray*} J_{LM} &=& \left| \begin{array}{ccc} u_p & u_q & u_r \\ v_p & v_q & v_r \\ w_p & w_q & w_r \end{array} \right| \\ &=& \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right| \\ &=& 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \\ &=& \frac{1}{2\sqrt{3}} \end{eqnarray*} したがって \begin{equation*} V = \iiint_M 1\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}dpdqdr = \frac{1}{2\sqrt{3}}\underbrace{\iiint_M dpdqdr}_{半径1の球の体積} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{4}{3}\pi = \boxed{\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}} \end{equation*}